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物理学中的可积模型

       可积模型在研究低维多体系统的量子效应中发挥着关键作用，其应用范围涵盖强关联电子系统、自旋交换相互作用、具有在位库仑相互作用的Hubbard模型、与传导电子耦合的量子杂质、超冷原子的量子简并气体、BCS配对模型等重要领域。随着材料合成技术和超冷原子调控手段的快速发展，许多引人注目的一维量子现象已在实验中被观测到。特别是在受限一维超冷玻色原子与费米原子体系，以及一维磁体量子临界现象方面的突破性实验，极大地深化了我们对量子多体系统中统计效应与强关联效应的理解。我们在这些领域取得了一系列重要研究成果，并直接应用于低维多体物理的最新实验突破，包括揭示海森堡自旋链、自旋梯子化合物、一维Hubbard模型、BCS模型、Gaudin磁体、Lieb-Liniger模型、超Tonks-Girardeau气体、自旋1/2相互作用费米气体、超冷量子自旋玻色气体等体系的精妙物理。

1.     自旋体系：在量子自旋链研究方面，一维反铁磁体中的长程有序会被破坏，从而在低温下呈现丰富的量子磁效应。我们发现具有强单离子各向异性的可积自旋-1链能很好地描述如NENC、NDPK、NBYC等化合物。通过精密的热力学Bethe拟设和量子转移矩阵方法，可以准确计算这些体系的热力学和磁学性质。在量子自旋梯子体系研究中，二维梯子系统为理解铜氧化物高温超导机制提供了简化模型。我们构建了可积su(N)系统与自旋梯子的对应关系，这些模型成功描述了B5i2aT、CHpC等实际梯子化合物的物理性质。特别地，通过可积理论获得的Luttinger液体参数与(5IAP)2CuBr4·H2O等化合物的实验结果高度吻合, 参见发表在《Advance in Physics》87科研论文: https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00018730701265383。

       固体中的一维量子自旋体系，是长期受到实验和理论关注的物理模型。随着实验技术的进步，目前可以很好的观测到CuPZn材料的热力学性质和磁性质，但是对磁振子、自旋子激发和量子临界性质的理解仍不够彻底。课题组对一维反铁磁海森堡链的相关问题进行了深入的研究，得到了多种物理量在量子临界区的解析标度函数，指出比热的双峰结构可以很好的给出量子临界区的转变温度，并证明威尔逊比率与拉亭戈参数成正比。更进一步，通过与实验结果的精确对比，确定了理论解释是完全正确的，更正了在量子临界区转变温度界定中的理解误区，对今后的理论和实验研究具有重要的指导意义（参见Phys. Rev. B 96, 220401 R(2017)）。文章发表后，我们的结果随即得到实验文章[Sci. Adv. 3, eaao3773 (2017)]的验证。尤其是近期PNAS发表的实验完美的验证关于Luttinger液体及临界现象的预言：https://academic.oup.com/pnasnexus/article/3/9/pgae363/7739746。

2.     超冷原子体系：近二十年来，简并超冷原子系统的实验制备和调控技术的发展，为研究量子多体现象以及精密测量方法，提供了里程碑意义的平台。项目研究团队在一维量子多体系统中的朝永-拉亭戈液体、自旋-电荷分离、量子临界现象中取得了系列进展，揭示了一维量子多体现象的微观机制, 其结果为理解高维量子多体现象提供重要的基准，引起国际同行的广泛关注，美国物理学会网刊Physics、欧洲物理学会网站Physicsworld、Journal Club for Condensed Matter Physics等专业网站均有刊文，介绍了项目成果。在量子气体研究领域，超冷量子气体实验展现了量子世界的精妙图景。通过径向强束缚、轴向弱束缚形成的各向异性约束气体，为研究可积理论提供了理想的纯净体系。近期Haller等人在铯原子强吸引区实现的超Tonks-Girardeau气体实验，在《Science》325，1224 （2009）和《Science》371，296（2021）分别验证了我们基于可积玻色气体模型的预言, 参见链接：https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-5468/2005/10/L10001/pdf；https://www.science.org/doi/epdf/10.1126/science.1175850；https://www.science.org/doi/epdf/10.1126/science.abb4928。

         在这方面，管习文利用严格可解模型早期预言了一维Yang-Gaudin模型中的奇特BCS和FFLO 库珀对物态（Guan， et. al., Phys. Rev. B 76, 085120 (2007)）,2010年Hullet教授组通过实验证实了他们用Bethe 假设设方法预测的一维吸引费米气体中FFLO态。一维相互作用费米子的低能激发，通常会分裂成两支独立的朝永-拉亭戈液体，分别描述携带自旋和电荷准粒子的集体运动，这种现象被称为自旋-电荷分离，是一维量子多体物理中独特的普适规律。虽然朝永-拉亭戈液体理论提出已有40多年，但自旋-电荷分离现象一直缺乏确定性（conclusive）的实验验证。其原因是，粒子间相互作用复杂、内部自由度丰富，给系统物理特性的理论描述带来巨大挑战，朝永-拉亭戈液体理论无法满足实验测量需求，使得理论上如何精确表征自旋-电荷分离现象成为公认的世界性难题。2020年管习文团队通过量子可积系统理论，首次精确计算出一维费米冷原子气体的低能分数激发谱，发现不同温度下自旋与电荷集体激发的奇特性质；揭示了自旋-电荷分离现象和自旋非相干液体的微观本质（Phys. Rev. Lett. 125, 190401 (2020)）。该文章率先提出利用布拉格光谱在费米超冷原子体系中确定性观测该现象的实验方案，为解决40多年来其作为朝永-拉亭戈液体理论的标志性物理现象缺乏令人信服实验验证的难题提供了理论指导。参加链接：https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.125.190401

        在后续的工作中，管习文研究团队与美国莱斯大学兰迪·休利特教授和浦晗教授团队合作，通过囚禁一维超冷费米气体首次确定性观测到自旋-电荷分离的奇特现象，并发现该体系中由自旋反向散射（backward scattering）引起的非线性朝永-拉亭戈液体效应。成果发表在《Science》，被选为"Research highlights"。世界著名物理学家日内瓦大学Thierry Giamarchi教授在世界"Journal Club for Condensed Matter Physics"专题评价了该工作：""This is of course a remarkable result. …This opens the door to using it in situations where the theory is much less well established."

自旋-电荷分离现象的理论预言首次获得确定性实验验证

(论文链接：https://www.science.org/doi/epdf/10.1126/science.abn1719)

        2017年与中国科学技术大学潘建伟院士及其同事苑震生教授等合作，通过对光晶格中的超冷原子进行量子调控和测量，结合量子可积系统理论，在国际上首次得到了一维有限温多体系统在经典气体和量子液体之间转变的量子临界性质，并通过测量其相位关联观测到了拉亭杰液体的幂定律关联特性，在低维量子多体系统研究领域取得了重要进展。该研究成果于近日发表在《物理评论快报》，并被选为编辑推荐文章（Editors' Suggestion）；美国物理学会网刊Physics邀请该领域专家日内瓦大学的Giamarchi教授，以"一维量子材料理论在冷原子和超导体实验中得以验证"为题，在"观点"（viewpoint）专栏对这一研究成果做了评述；欧洲物理学会网站Physicsworld以"原子体系和约瑟夫森节模拟一维量子液体"为题报导了该成果。

左：观测一维量子多体相变和拉亭杰液体的超冷原子实验装置示意图；右：一维量子多体系统相图。

（文章链接: https://journals.aps.org/prl/pdf/10.1103/PhysRevLett.119.165701）

        量子可积模型在超冷原子中的应用参见管习文与贺鹏发表在《物理学进展报告》的综述："量子可积新趋势：近期超冷原子实验"（New trends in quantum integrability: Recent experiments with ultracold atoms）的研究进展报告。论文介绍了若干一维量子严格可解模型和广义流体动力学方法，着重讨论和分析了近期关于一维冷原子系统中的多体物理现象的重要实验结果，并展望了该领域未来的发展趋势。文章链接: https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1361-6633/ac95a9/pdf

3.      一维Hubbard 模型：  长期以来，费米哈伯德模型是描述晶格中电子相互作用的重要理论模型，在描述普适的电子强关联物理现象，以及解释量子材料的诸多奇异特性方面起到了重要作用。然而，对于该模型的研究方法及其有限，数值计算受制于费米符号问题，多体微扰及平均场理论无法获得实际应用。因此，费米哈伯德模型被认为是世界公认的难题。在这方面的研究中，精确可解的一维费米哈伯德模型一直被期待为描述电子强关联体系的多体物理现象提供基准性参考。最近，实验物理学家在光晶格中实现了超冷原子系统，并成功构建了一维精确可解哈伯德模型，观测到自旋与电荷的动力学输运及超扩散行为，这为解释超导性和超流性的微观本质提供了新视角。然而，如何理解费米子之间的相互作用对自旋和电荷的量子态的影响，以及如何严格地构建相互作用驱动的量子相变、莫特绝缘体和普适热力学规律仍然是悬而未决的世界难题。虽然几十年来数学物理方法已经取得诸多进展，但仍然未能获得一维哈伯德模型的普适规律，阻碍了人们对多体量子现象的深刻认知。

        管习文研团队与合作者在一维排斥哈伯德模型理论研究方面取得了许多重要进展，包括吸引哈伯德模型新奇量子特性，热力学和动力学关联。最近他们给出了一维排斥哈伯德（Hubbard）模型的分数化自旋和电荷激发、自旋相干和非相干拉廷格（Luttinger）液体、相互作用驱动的量子相变和量子制冷等系列精确解析解。研究成果以"一维排斥哈伯德模型的精确解（Exact results of one-dimensional repulsive Hubbard model）"为题于2024年10月3日发表在《物理进展报告（Reports on Progress in Physics）》上。

(左) 一维排斥哈伯德模型中相区IV（部分填充部分极化相区）到相区II（部分填充全极化相区）相变时比热在温度—磁场—比热坐标系中的三维图；(右) 相互作用驱动的II-IV 量子相变在温度–相互作用平面上的等熵线图，展现了相互作用诱导的熵聚集效应，这对量子热机和制冷具有实际指导意义。

（参见链接：https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1361-6633/ad7b70/pdf）

4.      精密测量与量子度量：量子多体问题的最新前沿研究包括了从多体层面上研究量子度量学，这也是当前量子精密测量所面临的重要挑战。管习文项目组在国际上率先提出了相互作用驱动的量子液体热机及实验方案，工作发表在《Nature》共创子刊已成为该研究的热点论文。参见链接：https://www.nature.com/articles/s41534-019-0204-5.pdf。

          他们在一维格点系统中的多粒子量子行走及其在重力精密测量中的潜在应用方面的研究也取得了重要新进展。他们揭示一维三体量子行走的微观机制，并首次提出通过量子行走来提高重力测量的精度的实验方案。相关研究成果以"Multiparticle Quantum Walks and Fisher Information in One-Dimensional Lattices (一维格点中多粒子量子行走和Fisher信息)"为题，于2021年8月28日发表在《物理评论快报》（Physical Review Letters）杂志上。文章链接为：https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.127.100406。

         最近，管习文课题组与合作者证明在广义的相位估计任务中，对于非纠缠的初态，即使利用局域的多体相互作用哈密顿量编码参数，也无法使测量精度超越散粒噪声极限。此外，该研究还揭示了多体物理学、量子控制理论、量子混沌、算符增长以及量子混沌在量子计量学中的广泛联系，该研究成果于2024年发表在物理学领域顶级期刊  [Physical Review Letters，132, 100803 (2024)]上。此外项目团队研究了部分测量估计理论，针对在实际实验中只允许访问系统的一部分的情况，对其中的高斯态精密测量任务进行了深入分析。该研究建立了量子费舍信息与两体纠缠之间的确切关系，从而阐明了两体纠缠在动力学编码中的重要作用，在部分测量的精密测量理论中建立了量子纠缠与测量精度之间确切的关系文章发表在[Phys. Rev. B 109, L041301 (2024)]。

左图: 在广义相位估计任务中，局域相互作用和长程相互作用对相位估计精度产生实质性影响。对于非纠缠初态而言，即便利用局域的多体相互作用哈密顿量来编码参数，也难以使测量精度超越散粒噪声极限。这表明，要实现参数估计的海森堡测量精度，长程相互作用以及初态纠缠是重要的量子资源。更多相关信息可参考《Physical Review Letters》的相关文章。

（参见链接：https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.132.100803）

5.     任意子与分数统计：任意子及分数量子统计已成为近代物理最重要的研究方向之一，   在一维任意子可积模型方面，任意子作为描述分数统计的准粒子，在凝聚态物理和量子计算中日益重要。特别是近期在分数量子霍尔效应实验中观测到的分数统计特征，为量子计算和超导等基本问题的研究开辟了新途径。这些进展充分展示了可积模型在揭示量子多体系统本质规律方面的独特价值。管习文与合作者证明了一维相互作用的阴离子气体，包括相互作用的玻色子和费米子，等价于服从霍尔丹分数统计的理想粒子。这提供了对多体物理学中量子统计和动力学的深刻理解，许多国家（美国、法国、德国、英国、中国等）理论家后续发展了这方面的理论，包括管习文与合作者最近发现，非相互霍尔丹分数统计数据自然发生在1D、2D和3D相互作用玻色气体的量子临界状态。这建立了霍尔丹分数统计和粒子-空穴之间对称破缺的普适性关系[国家科学评论，参见论文 National Science Review: 9nwac027（2022）。参见链接：https://journals.aps.org/prl/pdf/10.1103/PhysRevLett.96.210402；https://academic.oup.com/nsr/article/9/12/nwac027/6535630?login=true。

6.     一维准周期体系中的安德森局域化： 一维准周期体系中的安德森局域化是凝聚态物理中研究无序导致电子态局域化的经典现象在非周期结构中的拓展。1958年，安德森提出在三维无序系统中，足够强的无序会使电子波函数从扩展态转变为空间局域态，这一现象被称为安德森局域化。而在一维体系中，即使是弱无序也会导致所有电子态局域化，这是由单参数标度理论所预言的。准周期体系（如Fibonacci链、Aubry-André模型）介于周期和无序体系之间，具有长程有序但不具备平移对称性。这类体系展现出独特的局域化行为：以Aubry-André模型为例，当准周期势强度超过临界值时，系统会经历从扩展态到局域态的相变，其临界点处存在多分形波函数。这一转变可通过自对偶性严格证明，与无序系统中的安德森局域化机制存在本质区别——准周期局域化源于势能的非周期性干涉而非随机散射。近年来，冷原子光学晶格实验实现了对Aubry-André模型的精确模拟，直接观测到局域化相变。该研究不仅深化了对量子输运的理解，还为调控材料导电性提供了新思路，同时在光子晶体、声子晶体等人工结构中有潜在应用价值。蔡小明在这一方面开展了一系列工作，主要关注厄密及非厄密准周期体系中的安德森局域化、拓扑量子相变、对称性破缺等物理特性。参见链接：https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.103.014201；https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.106.214207。

 

7.     量子可积系统中的数值计算问题： 基于量子可积模型的数值计算技术，是连接可积性的数学性质和实际物理特征的重要桥梁。量子可积模型的数值研究围绕几项支柱性工具展开：1. 密度矩阵重正化群（DMRG）及其均匀极限形式tMPS 通过显式保留U(1)、SU(2)等量子数，在一维模型上高效逼近基态与低激发，但需控制截断维数随纠缠熵增长而指数膨胀的误差；2. 量子蒙特卡洛在有限温度与高维映射情景下提供无偏采样，但要应对可积体系特有的相位问题及守恒量导致的严重自相关；3. 数值求解Bethe ansatz 方程是连接可积结构与实际物理问题的核心，它要求对复根弦分布施行高精度多段迭代、Lüscher‑型有限尺寸校正以及在强耦合密集根区的自适应高精度算法；4. 张量网络重构波函数技术通过将实验或蒙特卡洛生成的测量数据拟合成MPS/PEPS，能够在保持可积性的同时提取不可直接观测的关联函数与拓扑特征，但对样本量和优化收敛性极为敏感。

                   

图：可积模型的波函数计算中的张量网络特征。波函数的计算可以表征为张量网络的收缩问题，而可积模型可以在某些情况下给出这种计算的解析表达式，从而解决原问题中的维度灾难难题。

围绕这些方法，本课题组正在通过GPU 并行、辛积分时间推进与机器学习辅助预测等手段持续提升精度与规模，使量子可积模型在有限温度、非平衡动力学与强耦合区的量化描述日趋可行。

参见链接：

https://journals.aps.org/pra/abstract/10.1103/PhysRevA.109.033320

https://journals.aps.org/pra/abstract/10.1103/PhysRevA.111.L010802